「足し算の結果が約分できる２つの既約分数」の条件

問題作成してて、計算結果が約分できる形の2つの分数の和を考えるのって結構面倒だと思ったので、そうなる既約分数の条件を考えてみました。これで問題作成も捗るはず。

どんな問題を作りたいかというとこんな感じ。

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \cfrac{m}{a} +\cfrac{n}{b} =\cfrac{bm+an}{ab} \ ( a\neq b,\ a\neq bk,\ m\neq ak,n\neq bk)\\ \end{array}$

a、bは互いに素
mがaの倍数ではない
nがbの倍数ではない

の場合を考える。上の条件２と３は要するに、２つの分数が既約分数であるってことです。この場合、この分数が約分できる条件は以下の通り。

$bm+an$ が $a$ の倍数、または $b$ の倍数
$\leftrightarrow$ $m$ が $a$ の倍数、または $n$ が $b$ の倍数
これはそれぞれ条件2、3に反するので不適。

つまり、aとbが互いに素の場合は不適。逆に言えば、分母に共通因数を含めばイケる。

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \cfrac{m}{ab} +\cfrac{n}{ac} =\cfrac{1}{a}\cdot\cfrac{cm+bn}{bc} \ ( a\neq b \neq c,\ b\neq ck)\\ \end{array}$

この場合、約分できる条件は以下のようになるはず。

$cm+bn$ が $a$ の倍数

これは、 $a$ が偶数か奇数かによって分けて考えるとわかりやすそう。 $a$ が偶数の場合の方が簡単。

$a$ が偶数の場合、

$cm+bn$ が $a$ の倍数
$\leftrightarrow$ $cm+bn$ が偶数
$\leftrightarrow$ $cm$ が偶数かつ $bn$ が偶数、または、 $cm$ が奇数かつ $bn$ が奇数

最初の条件から $b$ と $c$ は偶数ではない、つまり奇数なので、

$cm$ が偶数かつ $bn$ が偶数、または、 $cm$ が奇数かつ $bn$ が奇数
$\leftrightarrow$ $b$ と $m$ が互いに素な奇数、かつ、 $c$ と $n$ が互いに素な奇数

例えば、以下のような分数。

$\begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{2\cdot3}+ \cfrac{7}{2\cdot5}\\ &=&\cfrac{35+21}{2\cdot3\cdot5}\\ &=&\cfrac{56}{2\cdot3\cdot5}\\ \end{eqnarray*}$

$a$ が奇数の場合は少し複雑だけど、

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \cfrac{m}{ab} +\cfrac{n}{ac} =\cfrac{1}{a}\cdot\cfrac{cm+bn}{bc} \ ( a\neq b \neq c,\ b\neq ck)\\ \end{array}$

この式を満たすための条件は、以下のところまでしか絞り込めない。

$cm+bn$ が $a$ の倍数

これを満たす、 $cm+bn$ はいくつも組み合わせが考えられるが、要するに $cm+bn=a$ の1次不定方程式をとけば良いってことですね。

例えば、 $a=3$ 、 $b=5$ 、 $c=7$ の場合

$\begin{eqnarray*} &&\cfrac{m}{3\cdot5}+\cfrac{n}{3\cdot7}\\ &=&\cfrac{7m+5n}{3\cdot5\cdot7}\\ \end{eqnarray*}$

これが約分できるためには、 $7m+5n$ が $3$ の倍数であれば良いので、

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 7m+5n=3\\ \\ m=4, n=-5\\ \\ 7(m-4)+5(n+5)=0\\ \\ n+5=-7k\\ n=-7k-5\\ \\ 7m+5(-7k-5)=3\\ m=5k+4\\ \end{array}$

例えば、 $k=0$ の場合、

$\begin{eqnarray*} &&\cfrac{4}{3\cdot5}-\cfrac{5}{3\cdot7}\\ &=&\cfrac{28-25}{3\cdot5\cdot7}\\ &=&\cfrac{3}{3\cdot5\cdot7}\\ \end{eqnarray*}$

$a$ が偶数の場合でも奇数の場合でも、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を決めれば $m$ 、 $n$ の条件も定まりますね。1次不定方程式を解けば、あとは $k$ のを変えるだけで、簡単に条件に合った分数が求まるのも便利ですね。分母や分子の因数を変えれば色々な組み合わせが作れます（たぶん）。

元々は問題作成のために考えた内容なので、分母、分子が2桁の分数のリストでも作っておこうかな。

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