雑記

「足し算の結果が約分できる2つの既約分数」の条件

問題作成してて、計算結果が約分できる形の2つの分数の和を考えるのって結構面倒だと思ったので、そうなる既約分数の条件を考えてみました。これで問題作成も捗るはず。

どんな問題を作りたいかというとこんな感じ。

\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \cfrac{m}{a} +\cfrac{n}{b} =\cfrac{bm+an}{ab} \ ( a\neq b,\ a\neq bk,\ m\neq ak,n\neq bk)\\ \end{array}

  1. a、bは互いに素
  2. mがaの倍数ではない
  3. nがbの倍数ではない

の場合を考える。上の条件2と3は要するに、2つの分数が既約分数であるってことです。この場合、この分数が約分できる条件は以下の通り。

bm+anaの倍数、またはbの倍数
\leftrightarrow maの倍数、またはnbの倍数
これはそれぞれ条件2、3に反するので不適。

つまり、aとbが互いに素の場合は不適。逆に言えば、分母に共通因数を含めばイケる。

\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \cfrac{m}{ab} +\cfrac{n}{ac} =\cfrac{1}{a}\cdot\cfrac{cm+bn}{bc} \ ( a\neq b \neq c,\ b\neq ck)\\ \end{array}

この場合、約分できる条件は以下のようになるはず。

cm+bnaの倍数

これは、aが偶数か奇数かによって分けて考えるとわかりやすそう。aが偶数の場合の方が簡単。

 

aが偶数の場合、

cm+bnaの倍数
\leftrightarrow cm+bnが偶数
\leftrightarrow cmが偶数かつbnが偶数、または、cmが奇数かつbnが奇数

最初の条件からbcは偶数ではない、つまり奇数なので、

cmが偶数かつbnが偶数、または、cmが奇数かつbnが奇数
\leftrightarrow bmが互いに素な奇数、かつ、cnが互いに素な奇数

例えば、以下のような分数。

    \begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{2\cdot3}+ \cfrac{7}{2\cdot5}\\ &=&\cfrac{35+21}{2\cdot3\cdot5}\\ &=&\cfrac{56}{2\cdot3\cdot5}\\ \end{eqnarray*}

 

aが奇数の場合は少し複雑だけど、

\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \cfrac{m}{ab} +\cfrac{n}{ac} =\cfrac{1}{a}\cdot\cfrac{cm+bn}{bc} \ ( a\neq b \neq c,\ b\neq ck)\\ \end{array}

この式を満たすための条件は、以下のところまでしか絞り込めない。

cm+bnaの倍数

これを満たす、cm+bnはいくつも組み合わせが考えられるが、要するにcm+bn=aの1次不定方程式をとけば良いってことですね。

 

例えば、a=3b=5c=7の場合

    \begin{eqnarray*} &&\cfrac{m}{3\cdot5}+\cfrac{n}{3\cdot7}\\ &=&\cfrac{7m+5n}{3\cdot5\cdot7}\\ \end{eqnarray*}

これが約分できるためには、7m+5n3の倍数であれば良いので、

\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}  7m+5n=3\\ \\ m=4, n=-5\\ \\ 7(m-4)+5(n+5)=0\\ \\ n+5=-7k\\ n=-7k-5\\ \\ 7m+5(-7k-5)=3\\ m=5k+4\\  \end{array}

例えば、k=0の場合、

    \begin{eqnarray*} &&\cfrac{4}{3\cdot5}-\cfrac{5}{3\cdot7}\\ &=&\cfrac{28-25}{3\cdot5\cdot7}\\ &=&\cfrac{3}{3\cdot5\cdot7}\\ \end{eqnarray*}

 

aが偶数の場合でも奇数の場合でも、&a&、&b&、&c&の値を決めれば&m&、nの条件も定まりますね。1次不定方程式を解けば、あとはkのを変えるだけで、簡単に条件に合った分数が求まるのも便利ですね。分母や分子の因数を変えれば色々な組み合わせが作れます(たぶん)。

元々は問題作成のために考えた内容なので、分母、分子が2桁の分数のリストでも作っておこうかな。

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