雑記

分数の割り算はなぜ逆数をかけるのか?

1÷1:5の説明

小学校で分数の割り算を習うときに、「逆数をかける」と教わると思いますが、その理由を答えられますか?数学では「そういうルールだから」と細かい説明をされずにスルーしていることがよくありますが、今回はその1つを解決しておきましょう。

10÷2の意味は?

「なぜ逆数をかけるのか」を理解するためにはまず割り算を理解しなければいけません。例えば10÷2は計算すれば、その答えは5と誰でもわかりますが、果たしてその意味はわかるでしょうか?

「計算に意味なんてない!」と言う人もいると思いますが、ここでは例えば具体例をあげるとすればどうなるか、と考えてもらえると良いと思います。

私が生徒に説明するときはこの二つをよく使います。

  1. 10の中に2がいくつ含まれているか
  2. 10を2個ずつに分けたらいくつに分けられるか

①の考えをもとにすると「なぜ逆数をかけるのか」を簡単に理解することができます。

1÷1/5=1×5?

まずは分子が1の場合を考えましょう。まずは上記①の考え方で理解してみましょう。

1÷1:5の説明

上記①の考え方をベースにすると 1\div\cfrac{1}{5} は、「1の中に\cfrac{1}{5} がいくつ含まれるか」と考えれば良いので、答えは5個になるというのは直感的にわかりやすいですね(上記画像見るとわかりやすいですね)。

②もほぼ同じように考えられます。「1を \cfrac{1}{5} ずつに分けたらいくつに分けられるか?」を考えれば良いので、上記①と同じ図で考えられるのがわかると思います。

1÷6/7=1×7/6?

これも前項目と同じように考えることができます。

分数の割り算はなぜ逆数をかけるのか?追加解説画像1

3/5÷6/7

最後は分数を分数で割る計算ですが、これはここまでの考え方を利用すれば計算的に理解することができます。

分数の割り算はなぜ逆数をかけるのか?追加解説画像2

割り算は掛け算で表せる

このように、「かける逆数にする」ことの本質は「割り算は掛け算で表せる」ことにあります。単位あたりの量に変換して考えることで、それがわかりやすくなります。

こういう本質的だけど「そういうものだから」と流されていることって中学や高校よりも小学校内容の方が多いんですよね。説明するのが難しいし、説明しても理解できない生徒の方が多いからだと思いますが。

今回の解説は「超・面白くて眠れなくなる数学」でも解説がされているので、興味がある方は読んでみてはいかがでしょうか。この記事とは異なる解説例が載っているので、より理解が深まると思います。

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