雑記

分数の割り算はなぜ逆数をかけるのか?

1÷1:5の説明

小学校で分数の割り算を習うときに、「逆数をかける」と教わると思いますが、その理由を答えられますか?数学では「そういうルールだから」と細かい説明をされずにスルーしていることがよくありますが、今回はその1つを解決しておきましょう。

10÷2の意味は?

「なぜ逆数をかけるのか」を理解するためにはまず割り算を理解しなければいけません。例えば10÷2は計算すれば、その答えは5と誰でもわかりますが、果たしてその意味はわかるでしょうか?

「計算に意味なんてない!」と言う人もいると思いますが、ここでは例えば具体例をあげるとすればどうなるか、と考えてもらえると良いと思います。

私が生徒に説明するときはこの二つをよく使います。

  1. 10の中に2がいくつ含まれているか
  2. 10を2個ずつに分けたらいくつに分けられるか

①の考えをもとにすると「なぜ逆数をかけるのか」を簡単に理解することができます。

1÷1/5=1×5?

まずは分子が1の場合を考えましょう。まずは上記①の考え方で理解してみましょう。

1÷1:5の説明

上記①の考え方をベースにすると 1\div\cfrac{1}{5} は、「1の中に\cfrac{1}{5} がいくつ含まれるか」と考えれば良いので、答えは5個になるというのは直感的にわかりやすいですね(上記画像見るとわかりやすいですね)。

②もほぼ同じように考えられます。「1を \cfrac{1}{5} ずつに分けたらいくつに分けられるか?」を考えれば良いので、上記①と同じ図で考えられるのがわかると思います。

分数÷分数

次は分数を分数で割る場合を考えてみます。

例えば \cfrac{5}{3}\div\cfrac{8}{3}=\cfrac{5}{3}\times\cfrac{3}{8} という計算を考えます。具体的な問題を考えるとすれば以下のような問題が考えられます。

ある壁を1メートル塗るのに \cfrac{8}{3} リットル必要とするペンキがあります。このペンキ \cfrac{5}{3} リットルで塗れる壁の長さはいくつでしょう?

この問題のポイントは「 \cfrac{5}{3} リットルが \cfrac{8}{3} リットルの何倍か?」が分かるかどうかです。

これを理解するためにまずは次の図をみてください。

単位あたり量の説明

この図を見れば「1メートル塗るのに \cfrac{8}{3} リットル必要なペンキ」=「1リットルで \cfrac{3}{8} メートル塗れるペンキ」ということがわかると思います。

「1リットルで \cfrac{3}{8} メートル塗れるペンキ」がもし2リットルあったら何メートル塗れますか?

答えは \cfrac{3}{8}\times2=\cfrac{6}{8}=\cfrac{3}{4} メートルです。

同じように考えて、今の場合、「1リットルで \cfrac{3}{8} メートル塗れるペンキ」が「 \cfrac{5}{3} リットル」あるので、 \cfrac{3}{8}\times\cfrac{5}{3} と計算できます。かける順番は入れ替えても良いので、この式は最初の式 \cfrac{5}{3}\times\cfrac{3}{8} と一致します。

割り算は掛け算で表せる

このように、「かける逆数にする」ことの本質は「割り算は掛け算で表せる」ことにあります。単位あたりの量に変換して考えることで、それがわかりやすくなります。

こういう本質的だけど「そういうものだから」と流されていることって中学や高校よりも小学校内容の方が多いんですよね。説明するのが難しいし、説明しても理解できない生徒の方が多いからだと思いますが。

今回の解説は「超・面白くて眠れなくなる数学」にも同様の解説がされているので、興味がある方は読んでみてはいかがでしょうか。

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