雑記

7の倍数、11の倍数、13の倍数の判定方法

6の倍数や8の倍数、9の倍数などは学校の数学でもよく出てきますが7、11、13の倍数判定はあまり扱われません。その理由は、判定方法が複雑だからです。今回はその判定方法を解説します。

 

7の倍数は少し面倒なので先に11の倍数について解説します。

11の倍数の判定方法

結論から言うと、

下の位の数字を符号を変えながら全て足して、0か11の倍数になれば元の数は11の倍数

です。

例えば「145299」は「9-9+2-5+4-1=0」なので11の倍数です。試しに11で割ってみてください。

判定方法はこれでわかりましたが、以下でなぜそうなるのかを説明していきます。とりあえず、3桁の数100a+10b+cを考えてみます。

    \begin{eqnarray*} &&100a+10b+c\\ &=&10(10a+b)+c\\ &=&11(10a+b)-10a-b+c\\ &=&11(10a+b)-11a+a-b+c\\ \end{eqnarray*}

見ての通り、11(10a+b)-11aは11の倍数です。残りのa-b+c0か11の倍数であれば元の数も11の倍数と言えます。

例えば924は9-2+4=11なので11の倍数です。また、363は3-6+3=0なのでやはり11の倍数です。

 

4桁の場合はどうでしょうか。同じように考えてみましょう。

    \begin{eqnarray*} &&1000a+100b+10c+d\\ &=&10(100a+10b+c)+d\\ &=&11(100a+10b+c)-(100a+10b+10c)+d\\ \end{eqnarray*}

どうでしょうか。カンのいい人は気づくかもしれませんが、3桁の場合と同じ形が出てきました。ただし符号は逆です。3桁のときの式を用いて式変形すると以下のようになります。

    \begin{eqnarray*} &=&11(100a+10b+c)-(100a+10b+10c)+d\\ &=&11(100a+10b+c)-11(10a+b)+11a-a+b-c+d\\ \end{eqnarray*}

先ほどと同様に、この数が11の倍数であるか判定するには-a+b-c+d0か11の倍数であればことがわかります。桁数が増えても同じことを繰り返せば良いだけです。

よって11の倍数かどうかを判定するには「下の位の数字を符号を変えて足していき、0か11の倍数になれば元の数も11の倍数」と判断できることがわかりました。

次は7の倍数。

7の倍数の判定方法

7の倍数の場合も同じように考えてみます。7の倍数を作るために、

    \begin{eqnarray*} &&100a+10b+c\\ &=&7(10a+b)-3a-3b+c\\ \end{eqnarray*}

とやっていきたいところですが、-3a-3bのところが処理しにくいです。そこで、先ほどと同じように11の倍数を作っていくために、11の倍数かつ7の倍数である1001を利用します。

1001であれば1000+1のような形を作れるので便利そうです。この方法は4桁以上じゃないと使えないので、まずは6桁の数で考えてみます。ここで重要なのは、3桁ごとに区切って考えることです。6桁の数字を1~999の2つの数字a、bを用いて1000a+bと表すことにします。cは一桁の数。

    \begin{eqnarray*} &&1000a+b\\ &=&1001a-a+b\\ \end{eqnarray*}

これで11の倍数と同じ状況が作れました。この-a+bが7の倍数か0であれば、元の数も7の倍数となります。

例えば、285782は-285+782=497=71\cdot7で7の倍数であることがわかります。

 

では、7桁の場合はどうなるでしょうか。bを1~999、aとcを一桁の数として考えます。

    \begin{eqnarray*} &&1000000a+1000b+c\\ &=&1001(1000a+b)-1000a-b+c\\ &=&1001(1000a+b)-1001a+a-b+c\\ \end{eqnarray*}

結局同じですね。「下の位から3桁ごとに区切って、符号を変えながら足した結果が0か7の倍数であれば元の数も7の倍数」であることがわかります。これは何桁であっても同じです。

例えば3234567は567-234+3=336=7\cdot48なので7の倍数です。

13の倍数の判定方法

実は13の倍数の判定方法については上述の判定方法と同じく1001を使えばOKです。なぜなら1001=7×11×13なので、この数字1つで、7の倍数、11の倍数、13の倍数を判定することが可能です。11の倍数の場合は、最初に紹介した方法の方が簡単かもしれませんが。

倍数の判定方法(まとめ)

最後に、基本の倍数の判定方法も合わせてまとめておきます。

自然数nについて、以下が成り立ちます。

  • 一の位が2の倍数なら、nは2の倍数
  • 各位の和が3の倍数なら、nは3の倍数
  • 下2桁が4の倍数なら、nは4の倍数
  • 一の位が5の倍数なら、は5の倍数
  • 2の倍数かつ3の倍数なら、nは6の倍数
  • 3桁ごとに区切り、下から符号を変えて足し合わせたものが7の倍数なら、nは7の倍数
  • 下3桁が8の倍数なら、nは8の倍数
  • 各位の和が9の倍数なら、nは9の倍数
  • 一の位が0なら、nは10の倍数
  • 各位の数を下から符号を変えて足し合わせたものが11の倍数なら、nは11の倍数
  • 3の倍数かつ4の倍数なら、nは12の倍数
  • 3桁ごとに区切り、下から符号を変えて足し合わせたものが13の倍数なら、nは13の倍数

 

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