雑記

循環小数を因数分解してみた。

循環小数を因数分解してみた。アイキャッチ

数1で「循環小数を分数で表す。」ってのをやると思いますが、今回はそれとは異なり、循環小数を因数分解してみました。

 

問題 0.\dot{1} 2 \dot{3}を因数分解しなさい。

 

パッと見、方針を立てにくいかもしれませんが、循環する部分をうまく利用して因数分解します。以下、回答例ですが、回答例を見る前に自分で考えてみてください。

 

回答例

    \begin{eqnarray*} 0.\dot{1}2\dot{3}&=&0.123123123\cdots\\ &=&123\left(\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^9}+\cdots+\frac{1}{10^{3n}}\right)\\ &=&123 \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{10^{3k}}\\ &=&123\cdot \frac{1}{10^3} \cdot \frac{1-(10^{-3})^n}{1-10^{-3}}\\ &=&\frac{123}{999} \cdot \frac{10^{3n}-1}{10^{3n}}\\ &=&\frac{123}{999} \cdot \frac{1}{10^{3n}} \cdot (10^{n}-1)(10^{2n}+10^n+1)\\ &=&\frac{41}{333} \cdot \frac{1}{10^{3n}} \cdot (10^{n}-1)(10^{2n}+10^n+1)\\ \end{eqnarray*}

これで因数分解終了です。

一応、n=1,2の場合を確認しておきましょう。

    \begin{eqnarray*} n=1 &&\frac{41}{333} \cdot \frac{1}{10^{3}} \cdot (10-1)(10^{2}+10+1)\\ &=&\frac{41}{333} \cdot \frac{1}{10^{3}} \cdot 9 \cdot 111\\ &=&\frac{123}{1000}\\ &=&0.123 \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} n=2 &&\frac{41}{333} \cdot \frac{1}{10^{6}} \cdot (10^2-1)(10^{4}+10^2+1)\\ &=&\frac{41}{333} \cdot \frac{1}{10^{6}} \cdot 99 \cdot 10101\\ &=&\frac{41}{333} \cdot \frac{1}{10^{6}} \cdot 3^2\cdot11\cdot 3\cdot37\cdot91\\ &=&\frac{123}{10^6} \cdot 1001\\ &=&\frac{123}{10^6} \cdot (1000+1)\\ &=&123 \left( \frac{1}{10^6} \cdot 1000+\frac{1}{10^6} \cdot 1 \right)\\ &=&123 \left( \frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^6} \right) \end{eqnarray*}

この問題、数1、数2の範囲がうまく融合しているので、どこかの入試問題として出題されててもおかしくないですね。

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