スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　108

スタンダード数学演習12AB（2018）、「ベクトルと平面図形（１）」の基本問題108の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や（）内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

回答例

方針：セオリー通りでOK。点Pと点Qが一致することは２つの点の位置ベクトルが同じであることを示せば良い感じですね。

（とりあえず図を書きましょう。）

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点A、点B、点Cの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ とする。また、△ABCの重心をGとし、その位置ベクトルを $\vec{G}$ とすると

(1) $\begin{eqnarray*} \vec{G}&=&\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\ \end{eqnarray*}$

また、点P、点Q、点Rの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{P}$ 、 $\vec{Q}$ 、 $\vec{R}$ とすると

(2) $\begin{eqnarray*} \vec{P}&=&\frac{3\vec{a}+\vec{b}}{4} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \vec{Q}&=&\frac{3\vec{b}+\vec{c}}{4} \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} \vec{R}&=&\frac{3\vec{c}+\vec{a}}{4} \end{eqnarray*}$

△PQRの重心をgとし、その位置ベクトルを $\vec{g}$ とすると

(5) $\begin{eqnarray*} \vec{g}&=&\frac{1}{3}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})\\ &=&\frac{1}{3}(\frac{3\vec{a}+\vec{b}}{4}+\frac{3\vec{b}+\vec{c}}{4}+\frac{3\vec{c}+\vec{a}}{4})\\ &=&\frac{1}{3}\frac{3\vec{a}+\vec{b}+3\vec{b}+\vec{c}+3\vec{c}+\vec{a}}{4}\\ &=&\frac{1}{3}\frac{4\vec{a}+4\vec{b}+4\vec{c}}{4}\\ &=&\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \end{eqnarray*}$

よって、式(1)と式(5)より△ABCと△PQRの重心は一致する。

ポイント

方針で示した通り、ベクトルの問題で２つの点が一致することはその２つの点の位置ベクトルが等しいことを示すのがセオリーですね。

重心のベクトルはいきなりポンっと書いてもOKだと思います。少なくとも模試で減点されたという例は見たことがないです。重心であることを宣言しておけば問題ないでしょう。

これは地味なポイントですが、 $\vec{G}$ と $\vec{g}$ は重心を表すベクトルですが、異なるアルファベットで表記しておきましょう。例えば両方とも $\vec{G}$ にすると、大幅に減点される可能性があります。

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