スタンダード数学演習12AB-2018

スタンダード数学演習12AB(2018)の解説 106

2018スタンダード数学演習12AB

スタンダード数学演習12AB(2018)、「ベクトルと内積」の基本問題106の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や( )内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

 

回答例

方針:図を書いて考えていく。あとはセオリーどおり。

 

(まず図を書きましょう)

 

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(1)   \begin{eqnarray*} \vec{OA}\cdot\vec{OB}&=&|OA||OB|\cos{\angle AOB}\\ &=&1\cdot1\cdot\cos{60^\circ}\\ &=&\frac{1}{2} \end{eqnarray*}

 

(2)   \begin{eqnarray*} \vec{DE}\cdot\vec{OG}&=&(\vec{OE}-\vec{OD})\cdot\left(\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\right)\\ &=&\left(\frac{1}{2}\vec{OC}-\frac{1}{2}\vec{OA}-\frac{1}{2}\vec{OB}\right)\left(\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{3}\vec{OC}\right)\\ &=&\frac{1}{2}(\vec{OC}-\vec{OA}-\vec{OB})\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\\ &=&\frac{1}{6}\{\vec{OC}\cdot(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})-\vec{OA}\cdot(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})-\vec{OB}\cdot(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\}\\ &=&\frac{1}{6}\left\{\left(\frac{1}{2}\cdot2+1\right)+\left(-\frac{1}{2}\cdot2-1\right)+\left(-\frac{1}{2}\cdot2-1\right)\right\}\\ &=&\frac{1}{6}(2-2-2)\\ &=&-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}

 

ポイント

\vec{OA}\dcot\vec{OB}は特に難しいところはないですね。内積の公式に当てはめるだけで解けちゃいます。

\vec{DE}\dcot\vec{OG}の方は「\vec{DE}を他のベクトルで表す」ことと「重心のベクトル」の2つに反応できるかがポイント。

重心を表すベクトルは反応しやすいが「\vec{DE}を他のベクトルで表す」というのは反応しにくい気がします。

扱いにくいベクトルは他の扱いやすいベクトルで表す」というのはセオリーなのですぐに手を動かせるレベルにしておこう。今の場合、\vec{OA}\vec{OB}\vec{OC}、の3つは大きさがわかっているしそれぞれの間の角度もわかっているので扱いやすい。

 

また、式(2)の4行目から5行目の計算は、|OA|=|OB|=|OC|=1であることと、\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=60^\circであることを利用しているため回答例のようにカンタンに計算できる。慣れてくれば3行目と4行目もカットできるはず。

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