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ラングレーの問題の解説

ラングレーの問題、アイキャッチ

今回はラングレーの問題の解説です。この問題は1922年にE・M・ラングレーが発表した平面幾何の難問らしいです。wikiには方針だけ書いてあって細かい解き方が書かれてなかったので、メモもかねて解き方を残しておきます。

ラングレーの問題

まずは問題。

Rendered by QuickLaTeX.com

上記の図形においてAB=ACのとき、xを求めよ。

いたってシンプルな問題です。

 

解説

私は1時間考えても解けなかったので、しょうがなくwikiの方針をチェックしました。

AB上に BD=BF となる点Fをとり、AD=AG となる点GをDFの延長線上にとる。△AGF≡△DBC を示し、FD=FE を示す。

とりあえずこれ通りにやってみました。

Rendered by QuickLaTeX.com

△ABCは二等辺三角形なので、\angle ABD = 20^{\circ}\angle ACE = 30^{\circ}

△BDFは二等辺三角形なので、\angle BDF = \angle BFD = 80^{\circ}

△ABDは二等辺三角形なので、\angle ADB=140^{\circ}。また\angle ADG = \angle ADB - \angle BDF = 140^{\circ} - 80^{\circ} = 60^{\circ}、AD=BD(①)。

AD=AGより△ADGは二等辺三角形なので、\angle AGD = 60^{\circ}。よって、△ADGは正三角形。したがってAD=AG=DG(②)。

①②より、AD=AG=DG=BF(③)。

 

△AFGと△DCBにおいて、一辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しいので△AFG≡△DCB。よって、FG=CB(④)。

また、△BCEにおいて、\angle CBE=50^{\circ}なので、△BCEは二等辺三角形。したがって、BC=CE(⑤)。

ここで、DF=DG-FG、EF=BF-BE。この2つの式と③〜⑤より、DF=EF。よって、△DEFは二等辺三角形。したがって、\angle FDE =\angle FED=50^{\circ}

x=\angle BDF - \angle FDE=80^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}

おわり。

二等辺三角形を作って合同を証明するっていう流れは、中学内容でも出てきますがこれが元ネタだったり?正三角形が出てくるのも面白いですね。

これ以外にもいくつか解き方があるっぽいので、ヒマだったら追記します。

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