脳トレIQクイズ

Twitterで拾った問題(半円に接する2つの正方形)

毎度おなじみTwitter問題です。今回は半円に接する2つの正方形の面積に関する問題です。今回もいつもお世話になっているCatrina Shearerさんです。

問題

問題はこんな感じ。

一応、問題の画像も載せておきます。

twitter-math-semicircle-two-squares-eyecatch

解説

問題の画像のまま解くことも可能ですが、題意からも予想できるように、上記画像のような半円に接する二つの正方形の合計の面積は常に等しいのでそれを利用します。

twitter-math-semicircle-two-squares-answer1

2つの正方形の面積が同じだった場合を考えると上記画像のようになります。ひとつの正方形の対角線で切った場合、その対角線の長さはaです。2つの正方形の合計の面積はこの三角形4つ分なので、

twitter-math-semicircle-two-squares-answer2

その面積はa^2となります。元ネタの設定では、直径が16の円なので、面積は8×8=64ですね。

 

「面積が一定」の証明

上記の解説では「半円に内接する2つの正方形の面積が常に一定」ということを問題文から予想して解いていますが、では本当にそうなのかというのを証明したいと思います。

まず、以下のような三角形(青い線)を考えます。

twitter-math-semicircle-two-squares-proof1

この二つの三角形は90度回転させた図形なので合同です。

次に、この三角形を利用して正方形を作ります。twitter-math-semicircle-two-squares-proof2

出来上がった正方形の一辺の長さは円の半径(rとする)と等しいので面積はr^2。これは二つの正方形の面積と一致します。

よって、当該の面積は常に半径の二乗で一定と言えます。

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