スタンダード数学演習12AB-2018

スタンダード数学演習12AB(2018)の解説 317

2018スタンダード数学演習12AB

スタンダード数学演習12AB(2018)、「ベクトルと内積」のA問題317の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や( )内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

 

回答例

方針:与えられた式を2乗してみるところからスタート

 

\vec{a}\vec{a}は単位ベクトルなので、|\vec{a}|=|\vec{b}|=1。よって

(1)   \begin{eqnarray*} |\vec{a}+k\vec{b}|&=&\sqrt{3}|k\vec{a}-\vec{b}|\\ |\vec{a}|^2+2k\vec{a}\cdot\vec{b}+k^2|\vec{b}|&=&3(k^2\vec{a}-2k\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2)\\ 1+2k\vec{a}\cdot\vec{b}+k^2&=&3k^2-6k\vec{a}\cdot\vec{b}+3\\ 8k\vec{a}\cdot\vec{b}&=&2k^2+2\\ \vec{a}\cdot\vec{b}&=&\frac{2k^2+2}{8k}\\ &=&\frac{k^2+1}{4k} \end{eqnarray*}

 

-1\leqq\vec{a}\cdot\vec{b}\leqq1なので、

(2)   \begin{eqnarray*} &-1\leqq\frac{k^2+1}{4k}\leqq1&\\ &k>0&\\ &-4k\leqq k^2+1 \leqq 4k& \end{eqnarray*}

 

(3)   \begin{eqnarray*} &-4k\leqq k^2+1&\\ &k^2+4k+1\geqq 0&\\ &k=-2\pm\sqrt{3}&\\ &\therefore -2-\sqrt{3} \leqq k,\hspace{5mm}  k\leqq -2+\sqrt{3}& \hspace{1cm} \cdots\textcircled{\scriptsize 1} \end{eqnarray*}

 

(4)   \begin{eqnarray*} &k^2+1\leqq 4k&\\ &k^2-4k+1\geqq 0&\\ &k=2\pm\sqrt{3}&\\ &\therefore 2-\sqrt{3} \leqq k \leqq 2+\sqrt{3}& \hspace{1cm} \cdots\textcircled{\scriptsize 2} \end{eqnarray*}

 

式①と式②を同時に満たす範囲を考えると

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よって、求めるkの範囲は

(5)   \begin{eqnarray*} 2-\sqrt{3} \leqq k \leqq 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}

 

ポイント

問題で与えられているようなベクトルの多項式の絶対値を取った形の式は2乗するとうまくいくことが多いので、それに反応できるかどうかがポイントですね。

十分にトレーニングできている場合はこの形を見たら自然と2乗したくなるはずです。

もちろん、100%そうではないですが、セオリーを身につけておくことで得点力はグンッと上がります。

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