スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　103

スタンダード数学演習12AB（2018）、「ベクトルの基本」の基本問題103の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や（）内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

（１）の回答例

方針：ベクトルの大きさを求める式を使う。

(1) $\begin{eqnarray*} \vec{a}=(3,1) \\ \vec{b}=(1,2)\\ \vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}\\ \end{eqnarray*}$

よって、

$\begin{eqnarray*} \vec{c}&=&(3,1)+(t,2t) \\ &=&(3+t,1+2t) \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{c}|&=&\sqrt{(3+T)^2+(1+t)^2} \\ &=&\sqrt{5t^2+10t+10} \\ \end{eqnarray*}$

（問題文から考えて、ルートの中の式が15と等しいので）

$\begin{eqnarray*} 5t^2+10t+10=15 \\ 5t^2+10t-5=0 \\ t^2+2t-1=0 \\ \end{eqnarray*}$

（解の公式を使って）

$\begin{eqnarray*} t=-1\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

方針：２次関数の最小の問題の基本的な解き方に従って解けばOK

（ $|\vec{c}|$ の最小値はルートの中の式の最小値を考えれば良い）

$\begin{eqnarray*} f(t)&=&5t^2+10t+10 \\ &=&5(t^2+2t)+10 \\ &=&5(t+1)^2+5 \\ \end{eqnarray*}$

よって、t=-1のとき最小値1

（１）はベクトルの大きさの式を使えるかどうかを問う問題。（２）はルートの中に関数がある場合の最小値の求め方を問う問題。

大学入試ではどちらも基本問題なので、見た瞬間解けるレベルにしておきたいところ。

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