スタンダード数学演習の解説　346・ベクトルと平面図形(1)　[2016]

2016年度版スタンダード数学演習12ABの346の解説です。2017年版以降を使っている人は問題が合っているかよく確認してください。

回答例

方針：与えられた条件からできる限り図を書いてみる。特に $\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 3$ の利用は重要

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 3$ より

(1) $\begin{eqnarray*} \cos{\angle BOC} &=& \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OB}||\vec{OC}|} \\ &=& \frac{3}{2 \cdot 3} \\ &=& \frac{1}{2} \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} \angle BOC &=& \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

（これで、 $\angle BOC$ の角度がわかりました。これと、 $|\vec{OA}|=4$ 、 $|\vec{OB}|=3$ 、 $|\vec{OC}|=2$ という情報から、A、B、Cはそれぞれ下の図のような３つの円上のどこかにあることがわかります。）

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（ここからがこの問題の難しいところです。 $\angle BOC$ は $\frac{\pi}{3}$ で一定なので、点Bと点Cの相対的な位置関係は常に同じです。なので、点Bと点Cを上の図のように固定して考えればOKです。）

（線分BCを底辺とし、点Aから線分BCに下ろした垂線を高さとみて考えましょう。まずは線分BCの長さから求めます。）

(2) $\begin{eqnarray*} |\vec{BC}|^{2} &=& |\vec{OC} - \vec{OB}|^{2} \\ &=& |\vec{OC}|^{2} - 2 \vec{OB}\cdot\vec{OC} + |\vec{OB}|^2 \\ &=& 2^{2} - 2 \cdot 3 + 3^{2} \\ &=& 7 \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} |\vec{BC}| &=& \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

（つづいて線分AHを求めます。）

(3) $\begin{equation*} AH = OA + OH \end{equation*}$

（OHについては三角形OBCに注目して考えます。）

$BH=x$ とおくと、三角形BOHと三角形COHについて三平方の定理を用いると、

(4) $\begin{eqnarray*} OB^{2} - BH^{2} &=& OC^{2} - CH^{2} \\ 3^{2} - x^{2} &=& 2^{2} - (\sqrt{7} - x)^{2} \\ &\vdots& \\ x &=& \frac{6}{\sqrt{7}} \\ \end{eqnarray*}$

よって、

(5) $\begin{eqnarray*} OH^{2} &=& 3^{2} - x^{2} \\ &\vdots& \\ OH &=& \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} \end{eqnarray**}$

式(5)とOA=4を式(3)に代入して、

(6) $\begin{eqnarray*} AH &=& OA + OH\\ &=&4+\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}\\ \end{eqnarray*}$

これで最大となるときの三角形ABCの面積を求める準備ができました。

(7) $\begin{eqnarray*} \triangle ABC &=& \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \\ &=& \frac{1}{2} \sqrt{7} \left( 4 + \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) \\ &=& 2 \sqrt{7} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

この問題のポイント

点Bと点Cの相対的な位置関係が変わらないことに気付けるかどうか

OBとOCのなす角が $\frac{\pi}{3}$ と一定、OBもOCも一定なので辺BCの長さも一定の値になるはずです。

このことから、三角形OBCを形を変えずに原点Oを中心に回転させるイメージを持てればOKです。

また、辺BCを底辺と見たとき、辺BCが一定であるなら三角形ABCの面積は高さによって決まるということに気付けるかどうかもポイント。

検討

点Bと点Cの位置をそれぞれ、 $(3,0)$ 、 $(1,\sqrt{3})$ と固定して考えましたが、他の座標にあったらどうでしょうか。仮に点Bが $(0,3)$ (つまり反時計回りに90°回転した場所)にある場合を考えてみます。図はこんな感じになるはずです。点Cの座標は自分で求めてみてください。