スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　317

スタンダード数学演習12AB（2018）、「ベクトルと内積」のA問題317の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や（）内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

回答例

方針：与えられた式を2乗してみるところからスタート

$\vec{a}$ と $\vec{a}$ は単位ベクトルなので、 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ 。よって

(1) $\begin{eqnarray*} |\vec{a}+k\vec{b}|&=&\sqrt{3}|k\vec{a}-\vec{b}|\\ |\vec{a}|^2+2k\vec{a}\cdot\vec{b}+k^2|\vec{b}|&=&3(k^2\vec{a}-2k\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2)\\ 1+2k\vec{a}\cdot\vec{b}+k^2&=&3k^2-6k\vec{a}\cdot\vec{b}+3\\ 8k\vec{a}\cdot\vec{b}&=&2k^2+2\\ \vec{a}\cdot\vec{b}&=&\frac{2k^2+2}{8k}\\ &=&\frac{k^2+1}{4k} \end{eqnarray*}$

$-1\leqq\vec{a}\cdot\vec{b}\leqq1$ なので、

(2) $\begin{eqnarray*} &-1\leqq\frac{k^2+1}{4k}\leqq1&\\ &k>0&\\ &-4k\leqq k^2+1 \leqq 4k& \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} &-4k\leqq k^2+1&\\ &k^2+4k+1\geqq 0&\\ &k=-2\pm\sqrt{3}&\\ &\therefore -2-\sqrt{3} \leqq k,\hspace{5mm} k\leqq -2+\sqrt{3}& \hspace{1cm} \cdots\textcircled{\scriptsize 1} \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} &k^2+1\leqq 4k&\\ &k^2-4k+1\geqq 0&\\ &k=2\pm\sqrt{3}&\\ &\therefore 2-\sqrt{3} \leqq k \leqq 2+\sqrt{3}& \hspace{1cm} \cdots\textcircled{\scriptsize 2} \end{eqnarray*}$

式①と式②を同時に満たす範囲を考えると

Rendered by QuickLaTeX.com

よって、求めるkの範囲は

(5) $\begin{eqnarray*} 2-\sqrt{3} \leqq k \leqq 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

ポイント

問題で与えられているようなベクトルの多項式の絶対値を取った形の式は２乗するとうまくいくことが多いので、それに反応できるかどうかがポイントですね。

十分にトレーニングできている場合はこの形を見たら自然と２乗したくなるはずです。

もちろん、100%そうではないですが、セオリーを身につけておくことで得点力はグンッと上がります。

オンライン指導、生徒受付中！2月3月に指導開始の場合、割引！

神奈川県公立高校入試、都立高校入試、大学入試で個別指導18年、オンライン指導8年の私がマンツーマンで丁寧に指導します。

対象学年：中学生、高校生、浪人生
指導科目（高校）：数学、物理、大学受験指導
指導科目（中学）：数学、理科、高校受験指導
指導形態：SkypeまたはZoomによるオンライン指導
指導曜日・時間：要相談
料金：1時間6,000円（税別）→5,000円（2月3月指導開始の方だけ！）
体験指導：60分（ヒアリング含む）

体験指導をご希望の方、オンライン指導に関してご質問がある方は以下のお問い合わせページからご連絡ください。体験指導や指導料金などについて詳しい資料をお送りします。

お問い合わせ

回答例

ポイント

スタンダード数学演習12AB（2018）の解説 109

スタンダード数学演習12AB（2018）の解説 108

スタンダード数学演習12AB（2018）の解説 103

COMMENT コメントをキャンセル

スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　109

スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　108

スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　103