スタンダード数学演習12AB（2018）の解説　107

スタンダード数学演習12AB（2018）、「ベクトルと内積」の基本問題107の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や（）内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

回答例

方針：「単位ベクトルの大きさは１」と「垂直→内積=0」の利用を考える。

単位ベクトルを $\vec{e}=(x,y,z)$ とすると、

(1) $\begin{eqnarray*} |\vec{e}|^2=x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray*}$

この単位ベクトルが $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なので

(2) $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{e}&=&0\\ (1,-1,-1)\cdot(x,y,z)&=&0\\ x-y-z&=&0 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \vec{b}\cdot\vec{e}&=&0\\ (2,1,-2)\cdot(x,y,z)&=&0\\ 2x+y-2z&=&0 \end{eqnarray*}$

式(2)+式(3)より

(4) $\begin{eqnarray*} 3x-3z=0\\ \therefore x=z \end{eqnarray*}$

式(4)の結果を式(2)に代入して

(5) $\begin{eqnarray*} x-y-x&=&0\\ \therefore y&=&0 \end{eqnarray*}$

式(4)と式(5)を式(1)に代入して

(6) $\begin{eqnarray*} x^2+0^2+x^2&=&1\\ 2x^2&=&1\\ x&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \therefore \vec{e}&=&\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray*}$

ポイント

方針で書いた通りだが、この問題は比較的カンタンな問題なので瞬殺したいところ。「単位ベクトル」は反応しやすいキーワードなので、最初から最後まで手を止めず回答を書き切れるレベルにしておこう。

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