スタンダード数学演習12AB-2018

スタンダード数学演習12AB(2018)の解説 105

2018スタンダード数学演習12AB

スタンダード数学演習12AB(2018)、「ベクトルと内積」の基本問題105の解説記事です。考えるときのポイント、式変形などを詳しく解説してあります。テキストの解説だとわかりにくい部分も細かく説明をしてあるので参考にしてみてください。

回答例の「方針」や( )内の説明は実際の回答ではないですが、解説のために入れてあります。

 

回答例

方針:図を書いて考える。\vec{AC}を他のベクトルで表してみる。

 

(まずは図を書こう)

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図より△AOBや△CODは正三角形なので、AO=DO=1。よってAD=2

(1)   \begin{eqnarray*} \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC} \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} \vec{AC}\cdot\vec{AD}&=&(\vec{AB}+\vec{BC})\cdot\vec{AD}\\ &=&\vec{AB}\cdot\vec{AD}+\vec{BC}\cdot\vec{AD}\\ &=&|AB||AD|\cos{60^\circ}+|BC||AD|\cos{0^\circ}\\ &=&1\cdot2\cdot\frac{1}{2}+1\cdot2\cdot1\\ &=&1+2\\ &=&3 \end{eqnarray*}

 

ポイント

\vec{AC}をそのまま使おうとすると|AC|を求めるのに時間がかかる。ベクトルの問題では扱いにくいベクトルを扱いやすい(今の場合は大きさがわかっている)ベクトルに置き換えて考える方法はよく使うので覚えておこう。

 

別解

ベクトルを置き換えずに|AC|を求める方法もある。

 

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線分CEと線分ADの交点をGとすると、三平方の定理より

(3)   \begin{eqnarray*} AC^2&=&AG^2+CG^2\\ &=&\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\ &=&\frac{9}{4}+\frac{3}{4}\\ &=&3\\ \therefore AC&=&\sqrt{3} \end{eqnarray*}

 

(4)   \begin{eqnarray*} \vec{AC}\cdot\vec{AD}&=&|AC||AD|\cos{30^\circ}\\ &=&\sqrt{3}\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=&3 \end{eqnarray*}

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