42ベクトルと平面図形(1)346:解説 スタンダード数学演習Ⅰ・Ⅱ・A・B(2016)

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解説

|\vec{OA}|=4|\vec{OB}|=3|\vec{OC}|=2という情報から、A、B、Cはそれぞれ図のような3つの円上のどこかにあることがわかります。

\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 3より

    \begin{eqnarray*} \cos{\angle BOC} &=& \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OB}||\vec{OC}|} \\ &=& \frac{3}{2 \cdot 3} \\ &=& \frac{1}{2} \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} \angle BOC &=& \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}

つまり\angle BOCは一定ということです。

これと、点B、点Cはそれぞれ円周上の点であることから、図のように点B、点Cの位置をそれぞれ(3,0)(1,\sqrt{3})固定して考えるとわかりやすくなります。

OBとOCのなす角が\frac{\pi}{3}と一定の値なので辺BCの長さも一定の値になるはずです。辺BCを底辺と見たとき、辺BCが一定であるなら三角形ABCの面積は高さによって決まります。

その高さが最大になるときに三角形ABCの面積も最大になります。

このとき、三角形ABCの面積が最大になるような点Aの位置は図のような位置になります。原点Oから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、直線OHと半径4の円が交わる交点のうちBCと反対側の点がAになります。
まずはBCの長さを求めましょう。

    \begin{eqnarray*} |\vec{BC}|^{2} &=& |\vec{OC} - \vec{OB}|^{2} \\ &=& |\vec{OC}|^{2} - 2 \vec{OB}\cdot\vec{OC} + |\vec{OB}|^2 \\ &=& 2^{2} - 2 \cdot 3 + 3^{2} \\ &=& 7 \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} |\vec{BC}| &=& \sqrt{7} \end{eqnarray*}

つづいて三角形ABCの高さAHを求めます。

    \begin{equation*} AH = OA + OH \end{equation*}

OAは半径なので、OA = 4OHについては三角形OBCに注目して考えます。BH=xとおくと、

    \begin{eqnarray*} 3^{2} - x^{2} &=& 2^{2} - (\sqrt{7} - x)^{2} \\ &\vdots& \\ x &=& \frac{6}{\sqrt{7}} \\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} OH^{2} &=& 3^{2} - x^{2} \\ &\vdots& \\ OH &=& \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} \end{eqnarray*}

これで最大となるときの三角形ABCの面積を求める準備ができました。

    \begin{eqnarray*} \triangle ABC &=& \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \\ &=& \frac{1}{2} \sqrt{7} \left( 4 + \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) \\ &=& 2 \sqrt{7} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}

検討

点Bと点Cの位置をそれぞれ、(3,0)(1,\sqrt{3})と固定して考えましたが、他の座標にあったらどうでしょうか。仮に点Bが(0,3)(つまり反時計回りに90°回転した場所)にある場合を考えてみます。図はこんな感じになるはずです。点Cの座標は自分で求めてみてください。

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元の図形を反時計回りに90°回転させたでけというのがわかりますね。何°回転させても同じことが言えるので、最初の位置で固定して考えても差し支えないはずです。

また、最初の位置から線対称に移動させた場合でも同様で、元の図形と合同な図形になります。

このことに気づけば点Bと点Cは\angle BOC = \left \frac{\pi}{3} \rightという値と、それぞれの円周上にあるという条件を満たしていればどこにあってもいいことがわかります。

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