27図形と計量 228:解説 スタンダード数学演習Ⅰ・Ⅱ・A・B(2016)

略解(別冊解答)では余弦定理を使う方法が書かれていますが、実はもう少し楽に解く方法があります。まずは略解に沿った解法から行きましょう。

(1)の解説

まず、問題文をもとにして図を書きます。

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CD=x として、三角形ACD、三角形ECD、三角形BCDのそれぞれにおいて考えると、

    \begin{eqnarray*} &&AC=\sqrt{3} x \\ &&EC=x \\ &&AC=\frac{1}{{\sqrt{3}}} x \end{eqnarray*}

すると底面ABCは以下のような状態になる。

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三角形ACEと三角形ABCはそれぞれ3つの辺をxと定数で表すことができている。また、\angle CABは共通の角である。つまり、それぞれの三角形で cos \angle CAB の値を計算し連立すればxの方程式が作れるということになる。

ここがこの解法の最大のポイント。

余弦定理は3つの辺と1つの角の余弦、計4つの値に関する等式なので、そのうち2つがわからない場合は、その2つの値に関する式を2つ作って連立すれば求めることができる。

また、三角形ACEにおいて \angle CAB = \angle CAE であることから cos \angle CAB = coas \angle CAE になることに気づくかどうかもポイント。
まずは三角形ABCにおいて考えると、

(1)   \begin{eqnarray*} cos \angle CAB &=& \frac {3x^{2}+9-\frac{x^{2}}{3}} {2\sqrt{3}x \cdot 3} \\ &\vdots& \\ &=& \frac{8x^{2}+27}{18\sqrt{3}x} \end{eqnarray*}

次に、三角形ACEについて考えると、

(2)   \begin{eqnarray*} cos \angle CAB &=& cos \angle CAE \\ &=& \frac {3x^{2}+1-x^{2}} {2\sqrt{3}x \cdot 1} \\ &\vdots& \\ &=& \frac{2x^{2}+1}{2\sqrt{3}x} \end{eqnarray*}

式(1)、(2)より

(3)   \begin{eqnarray*} \frac{8x^{2}+27}{18\sqrt{3}x} &=& \frac{2x^{2}+1}{2\sqrt{3}x} &\vdots& \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} (CD = ) x &=& \frac{3\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}

 

(2)の解説

cos \angle DFC を求めろと言われているので関係ありそうな三角形CDFを取り出してみましょう。

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cos \angle DFC の値は、三角形CDFに三角比を用いることで求められそうです。余弦定理でもいいですが、三角形CDFが直角三角形であることに気づけば楽に解ける三角比の方を使えますね。

しかし、 cos \angle DFC を求めるには、先にDFとCFの値を求める必要がありそうです。DFかCFのどちらかが求まればもう一方は三平方や三角比を用いて求められます。

ここはCFを先に求めてみましょう。

 

(1)のときと同じように三角形ACFにおいて余弦定理を用いて cos \angle CABの値を求めます。

(4)   \begin{eqnarray*} cos \angle CAB &=& cos \angle CAF \\ &=& \frac{3x^{2}+4-CF^{2}}{2\sqrt{3}\cdot 2} \\ &=& \frac{3x^{2}+4-CF^{2}}{4\sqrt{3}} \end{eqnarray*}

式(2)、(4)より、

(5)   \begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+1}{2\sqrt{3}x} &=& \frac{3x^{2}+4-CF^{2}}{4\sqrt{3}} \\ &\vdots& \\ 4x^{2}+2 &=& 3x^{2} + 4 - CF^{2} \\ CF^{2} &=& -x^2 + 2 \\ &=& -\frac{9}{5} + 2 \\ &=& \frac{1}{5} \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} CF &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}

DFについては、CF^{2}CD^{2} の値が計算しやすい値なので三平方の定理で求めることにします。

(6)   \begin{eqnarray*} DF^{2} &=& DC^{2} + CF^{2} \\ &=& \frac{9}{5} + \frac{1}{5} \\ &=& 2 \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} DF &=& \sqrt{2} \end{eqnarray*}

これで、cos \angle DFC を求める準備ができました。

(7)   \begin{eqnarray*} cos \angle DFC &=& \frac{CF}{DF} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{10}} \\ &=& \frac{\sqrt{10}}{10} \end{eqnarray*}

 

別解

もう1つの解法はAE=EF=FB=1になってるところに反応して、中線定理を用いるんじゃないの?と思いつけるかどうかがポイントです。

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(1)から行きましょう。まずは、三角形CAFについて中線定理より、

(8)   \begin{eqnarray*} CA^{2} + CF^{2} &=& 2(CE^{2} + AE^{2}) \\ 3x^{2} + CF^{2} &=& 2(x^{2} + 1) \\ x^{2} + CF^{2} &=& 2 \end{eqnarray*}

次に、三角形CEBについて中線定理より、

(9)   \begin{eqnarray*} CE^{2} + CB^{2} &=& 2(CF^{2} + EF^{2}) \\ x^{2} + \frac{1}{3}x^{2} &=& 2(CF^{2} + 1) \\ &\vdots& \\ 4x^{2} - 6CF^{2} &=& 6 \end{eqnarray*}

式(8)、(9)より、

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} 6x^{2} + 6CF^{2} = 12 & \\ 4x^{2} - 6CF^{2} = 6 & \end{cases} \end{eqnarray*}

これを解いて、

(10)   \begin{eqnarray*} 10x^{2} &=& 18 \\ x^{2}&=&\frac{9}{5} \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} (CD=) x &=& \frac{3\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}

 

(2)は式(8)を用いると簡単に求められます。

(1)より、

(11)   \begin{eqnarray*} x^{2} + CF^{2} &=& 2 \\ CF^{2} &=& 2- x^{2} \\ &=& 2 - \frac{9}{5} \\ &=& \frac{1}{5} \\ \raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \hspace{3mm} CF &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}

以降は同じです。

こっちの方が楽に解けるので図形と計量の問題というよりは図形の性質の問題に組み込んだ方がいいかもしれませんね。中線定理を使う問題は少ないのであえて図形と計量に分類してるのかもしれませんが。

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